①について
これについては、テーマとは関係がないように思われます。
カテゴリーページ自体の制御(データの抽出、出力)はWordPress側の制御であり、テーマでは得られたデータ(カテゴリーの記事)をテーマ側で決められたスタイルにレイアウトを組んでarchive.phpにて表示しているのみです。
一旦すべてのプラグインを停止し、順番に有効化しながら何か不具合を引き起こしているプラグインが存在しないか確認してください。
また、.htaccessの記述やパーマリンクの指定に問題がないか、他のテーマでの動作との比較などもご確認ください。
プラグインは問題ありませんでした。
.htaccessの記述やパーマリンクの指定は不具合が出る前から何も変更していないので問題ないと思われます。
テーマを変えて確認すると正常に動作しましたので、やはりテーマの不具合ではないのでしょうか?
「詳細設定」→「アーカイブ表示形式」→「記事一覧表示形式設定」→「カテゴリー別表示設定」で該当のカテゴリースラッグを入力すると正常に表示されました。※マガジン1・マガジン2については表示されませんでした。
②確認不足でした。解決しました。