返信とソースの確認ありがとうございます。
ご推察の通りSimple Custom CSS and JSを使用していたため停止しました。
CSSの定義がめちゃくちゃな件についてはおそらくウィジェット(カスタムHTML)でそれぞれに<style></style>を用いてCSSを記述していたためです。
ご提示いただいたデモサイトをiPhoneSE2で確認したところハンバーガーメニューの崩れは確認できませんでした。
原因としてフッターに挿入したフッターエリア(モバイル用)ウィジェットにFont Awesomeを使用し、アイコン同士の空白を開ける際にiを指定してしまったためハンバーガーメニュー内のiに影響を与えてしまったのだと思われます。
無事に正常に表示されました、ありがとうございました。
質問ばかりで恐縮ですが、デモサイトではカスタムフッターバー(水色部分)に検索・ホーム・先頭へ・メニューの4つアイコンが並んでいてバランスが取れていますが、アイコンが3つの場合表示のバランスが悪く見えてしまいます。バランスよく・押しやすくするためにファイルのどこかを編集したいのですが、可能でしょうか。(添付画像footerimage.jpg)